Định nghĩa theo tập mở
Một không gian tôpô là một cặp có thứ tự (X, τ), trong đó X là một tập và τ là một họ các tập con của X, thỏa mãn những tiên đề dưới đây:
Các phần tử của τ được gọi là các tập mở và họ τ được gọi là một tôpô trên X.
Đang xem: Topological là gì
Chú ý rằng giao vô hạn các tập mở không nhất thiết là mở. Ví dụ, trong ℝ với tôpô thường (là tô pô với các tập mở là những khoảng mở trên ℝ), giao của tất cả các khoảng mở có dạng (-1/n, 1) và (-1, 1/n) với n ϵ ℕ+, là tập {0}, là không mở.
Định nghĩa theo lân cận
Tiên đề này là do Felix Hausdorff. Cho X là một tập; các phần tử của X thường được gọi là các điểm, dù chúng có thể là bất kỳ đối tượng toán học nào. Chúng ta cho phép X là rỗng. Cho N là một hàm gán tới mỗi điểm x trong X một họ không rỗng N(x) các tập con của X. Các phần tử của N(x) được gọi là các lân cận của x đối với N (hoặc đơn giản là lân cận của x). Hàm N được gọi là một tôpô lân cận nếu các tiên đề dưới đây được thỏa; và sau đó X với N được gọi là một không gian tôpô.
1. Nếu N là một lân cận của x (đó là N ϵ N(x)), thì x ϵ N. Nói cách khác, mỗi điểm thuộc về mọi lân cận của nó.
2. Nếu N là một tập con của X và chứa một lân cận của x, thì N là một lân cận của x. Đó là, mọi tập cha của một lân cận của một điểm x trong X lại là một lân cận của x.
3. Giao của hai lân cận của x là một lân cận của x.
4. Bất kỳ lân cận N của x chứa một lân cận M của x sao cho N là một lân cận của mỗi điểm của M.
Ba tiền đề đầu tiên cho lân cận có nghĩa rõ ràng. Tiên đề thứ tư có một tác dụng quan trọng trong cấu trúc lý thuyết, đó là liên kết các lân cận của các điểm khác nhau của X.
Một ví dụ chuẩn của một hệ thống lân cận như thế là đối với đường thẳng thực ℝ, trong đó một tập con N của ℝ được định nghĩa là một lân cận của một số thực x nếu có một khoảng mở chứa x và chứa trong N.
Xem thêm: Chia Sẽ Nick Liên Minh Miễn Phí 2021 ❤️ Cho Nick Liên Minh Free
Đưa ra một cấu trúc như thế, chúng ta có thể định nghĩa một tập con U của X là mở nếu U là một lân cận của tất cả các điểm trong U.
Định nghĩa theo tập đóng
Sử dụng định luật De Morgan, các tiên đề định nghĩa theo tập mở trở thành các tiên đề định nghĩa theo tập đóng:
1. Tập rỗng và X là đóng.
2. Giao của bất kỳ họ các tập đóng là đóng.
3. Hợp của một số hữu hạn bất kỳ các tập đóng là đóng.
Sử dụng các tiên đề này, các tập trong tôpô τ là các tập đóng, và bù của chúng trong X là các tập mở.
Bất kỳ tập nào cũng có thể được cho tôpô rời rạc trong đó mọi tập con là mở. Cũng vậy, bất kỳ tập nào cũng có thể được cho tôpô tầm thường trong đó chỉ có tập rỗng và toàn thể không gian là mở.
Lân cận(Neighbourhood)
Nếu X là một không gian tôpô và p là một điểm trong X, một lân cận của p là một tập con V của X mà bao hàm một tập mở U chứa p.
p ϵ U ⊆ V
Một lân cận không nhất thiết phải là mở. Tuy nhiên nếu nó là lân cận của mỗi điểm của nó thì nó là một tập mở. Một tập V được gọi là lân cận của một tập con S của X nếu V bao hàm một tập mở U chứa S. Suy ra rằng V là lân cận của S nếu và chỉ nếu nó là lân cận của tất cả các điểm trong S. Tương đương, V là lân cận của S nếu và chỉ nếu S là tập con của phần trong của V.
Xem thêm: Cách Đăng Ký, Tạo Acc Steam Nhanh Chóng, Cách Đăng Ký Tài Khoản Steam Trên Máy Tính
Lân cận trong không gian metric
Trong không gian metric X, một tập con V của X là một lân cận của một điểm p nếu tìm được một quả cầu mở tâm p chứa trong V.
Với r > 0, r-lân cận Sr của một tập S là tập của các điểm trong X mà có khoảng cách từ S nhỏ hơn r. Tương đương, Sr là hợp của tất cả các quả cầu mở bán kính r có tâm tại một điểm trong S:
Không gian đếm được-thứ nhất(First-countable space), Không gian đếm được-thứ hai(Second-countable space), Hệ lân cận(Neighbourhood system), Cơ sở địa phương(Local basis, Neighbourhood basis)
Hệ lân cận
Hệ lân cận của một điểm x là họ tất cả các lân cận của điểm đó, biểu thị bởi
