” Ma Trận Khả Nghịch Là Gì, Tìm Nghịch Đảo Của Ma Trận 3X3

Cho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận

B vuông cấp n sao cho

AB = BA = En

(1)

(En

là ma trận đơn vị cấp n)

Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa điều kiện (1) là duy nhất, và B gọi là ma

trận nghịch đảo (ma trận ngược) của ma trận A, ký hiệu là A

Đang xem: Ma trận khả nghịch là gì

Xem thêm: Cách Chơi Blitzcrank Tốc Chiến, Hướng Dẫn Cách Chơi Blitzcrank

Bạn đang xem nội dung tài liệu Đại số tuyến tính – Ma trận khả nghịch, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Xem thêm: The Little Girl Sings Like A Pro, Alexa Sings Girl On Fire

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHMA TRẬN KHẢ NGHỊCHPhiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 6 tháng 12 năm 20041 Ma trận khả nghịch1.1 Các khái niệm cơ bảnCho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trậnB vuông cấp n sao choAB = BA = En (1)(En là ma trận đơn vị cấp n)Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa điều kiện (1) là duy nhất, và B gọi là matrận nghịch đảo (ma trận ngược) của ma trận A, ký hiệu là A−1.Vậy ta luôn có: A.A−1 = A−1.A = En1.2 Các tính chất1. A khả nghịch ⇐⇒ A không suy biến (detA 6= 0)2. Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)−1 = B−1A−13. (At)−1 = (A−1)t1.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo1.3.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thứcTrước hết, ta nhớ lại phần bù đại số của một phần tử. Cho A là ma trận vuông cấp n,nếu ta bỏ đi dòng i, cột j của A, ta được ma trận con cấp n − 1 của A, ký hiệu Mij. Khi đóAij = (−1)i+j detMij gọi là phần bù đại số của phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.Ma trậnPA =A11 A21 · · · An1A12 A22 · · · An2……. . ….A1n A2n · · · Ann =A11 A12 · · · A1nA21 A22 · · · A2n……. . ….An1 An2 · · · Anntgọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.1Ta có công thức sau đây để tìm ma trận nghịch đảo của A.Cho A là ma trận vuông cấp n.Nếu detA = 0 thì A không khả nghịch (tức là A không có ma trận nghịch đảo).Nếu detA 6= 0 thì A khả nghịch vàA−1 =1detAPAVí dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA = 1 2 10 1 11 2 3GiảiTa códetA =∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 11 2 3∣∣∣∣∣∣ = 2 6= 0Vậy A khả nghịch.Tìm ma trận phụ hợp PA của A. Ta có:A11 = (−1)1+1∣∣∣∣ 1 12 3∣∣∣∣ = 1A12 = (−1)1+2∣∣∣∣ 0 11 3∣∣∣∣ = 1A13 = (−1)1+3∣∣∣∣ 0 11 2∣∣∣∣ = −1A21 = (−1)2+1∣∣∣∣ 2 12 3∣∣∣∣ = −4A22 = (−1)2+2∣∣∣∣ 1 11 3∣∣∣∣ = 2A23 = (−1)2+3∣∣∣∣ 1 21 2∣∣∣∣ = 0A31 = (−1)3+1∣∣∣∣ 2 11 1∣∣∣∣ = 1A32 = (−1)3+2∣∣∣∣ 1 10 1∣∣∣∣ = −1A33 = (−1)3+3∣∣∣∣ 1 20 1∣∣∣∣ = 1VậyPA = 1 −4 11 2 −1−1 0 12và do đóA−1 =12 1 −4 11 2 −1−1 0 1 = 12 −2 12121 −12−120 12Nhận xét. Nếu sử dụng định thức để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cấpn, ta phải tính một định thức cấp n và n2 định thức cấp n − 1. Việc tính toán như vậy kháphức tạp khi n > 3.Bởi vậy, ta thường áp dụng phương pháp này khi n ≤ 3. Khi n ≥ 3, ta thường sử dụng cácphương pháp dưới đây.1.3.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dựa vào các phép biến đổisơ cấp (phương pháp Gauss)Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A vuông cấp n, ta lập ma trận cấp n× 2n(En là ma trận đơn vị cấp n) =a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n……. . ….an1 an2 · · · ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 · · · 00 1 · · · 0……. . ….0 0 · · · 1Sau đó, dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận về dạng . Khiđó, B chính là ma trận nghịch đảo của A, B = A−1.Chú ý. Nếu trong quá trình biến đổi, nếu khối bên trái xuất hiện dòng gồm toàn số 0 thìma trận A không khả nghịch.Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA =0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0Giải =0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1 −→d1→d1+d2+d3+d43 3 3 31 0 1 11 1 0 11 1 1 0∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1−→d1→ 13d11 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0∣∣∣∣∣∣∣∣131313130 1 0 00 0 1 00 0 0 1 d2→−d1+d2−→d3→−d1+d3d4→−d1+d41 1 1 10 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1∣∣∣∣∣∣∣∣13131313−1323−13−13−13−1323−13−13−13−13233−→d1→d1+d2+d3+d41 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1∣∣∣∣∣∣∣∣−23131313−1323−13−13−13−1323−13−13−13−1323d2→−d2−→d4→−d4d3→−d31 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1∣∣∣∣∣∣∣∣−2313131313−2313131313−2313131313−23VậyA−1 =−2313131313−2313131313−2313131313−231.3.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trìnhCho ma trận vuông cấp nA =a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n……. . ….an1 an2 · · · annĐể tìm ma trận nghịch đảo A−1, ta lập hệa11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = y1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = y2…an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = yn(2)trong đó x1, x2, . . . , xn là ẩn, y1, y2, . . . , yn là các tham số.* Nếu với mọi tham số y1, y2, . . . , yn, hệ phương trình tuyến tính (2) luôn có nghiệm duynhất: x1 = b11y1 + b12y2 + · · ·+ b1nynx2 = b21y1 + b22y2 + · · ·+ b2nyn…xn = bn1y1 + bn2y2 + · · ·+ bnnynthìA−1 =b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n……. . ….bn1 bn2 · · · bnn* Nếu tồn tại y1, y2, . . . , yn để hệ phương trình tuyến tính (2) vô nghiệm hoặc vô số nghiệmthì ma trận A không khả nghịch.4Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA =a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 aGiảiLập hệ ax1 + x2 + x3 + x4 = y1 (1)x1 + ax2 + x3 + x4 = y2 (2)x1 + x2 + ax3 + x4 = y3 (3)x1 + x2 + x3 + ax4 = y4 (4)Ta giải hệ trên, cộng 2 vế ta có(a+ 3)(x1 + x2 + x3 + x4) = y1 + y2 + y3 + y4 (∗)1. Nếu a = −3, chọn các tham số y1, y2, y3, y4 sao cho y1 + y2 + y3 + y4 6= 0. Khi đó (*) vônghiệm, do đó hệ vô nghiệm, bởi vậy A không khả nghịch.2. a 6= −3, từ (*) ta cóx1 + x2 + x3 + x4 =1a+ 3(y1 + y2 + y3 + y4) (∗∗)Lấy (1), (2), (3), (4) trừ cho (**), ta có(a− 1)x1 = 1a+ 3((a+ 2)y1 − y2 − y3 − y4)(a− 1)x2 = 1a+ 3(−y1 + (a+ 2)y2 − y3 − y4)(a− 1)x3 = 1a+ 3(−y1 − y2 + (a+ 2)y3 − y4)(a− 1)x4 = 1a+ 3(−y1 − y2 − y3 + (a+ 2)y4)(a) Nếu a = 1, ta có thể chọn tham số y1, y2, y3, y4 để (a+ 2)y1 − y2 − y3 − y4 khác 0.Khi đó hệ và nghiệm và do đó A không khả nghịch.(b) Nếu a 6= 1, ta cóx1 =1(a− 1)(a+ 3)((a+ 2)y1 − y2 − y3 − y4)x2 =1(a− 1)(a+ 3)(−y1 + (a+ 2)y2 − y3 − y4)x3 =1(a− 1)(a+ 3)(−y1 − y2 + (a+ 2)y3 − y4)5×4 =1(a− 1)(a+ 3)(−y1 − y2 − y3 + (a+ 2)y4)Do đóA−1 =1(a− 1)(a+ 3)a+ 2 −1 −1 −1−1 a+ 2 −1 −1−1 −1 a+ 2 −1−1 −1 −1 a+ 2Tóm lại:Nếu a = −3, a = 1 thì ma trận A không khả nghịch.Nếu a 6= −3, a 6= 1, ma trận nghịch đảo A−1 được xác định bởi công thức trên.6BÀI TẬPTìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau22. 1 0 32 1 13 2 223. 1 3 22 1 33 2 124.−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −125.0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1−1 −1 −1 0Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận vuông cấp n26.1 1 1 · · · 10 1 1 · · · 10 0 1 · · · 1………. . ….0 0 0 · · · 127.1 + a 1 1 · · · 11 1 + a 1 · · · 11 1 1 + a · · · 1………. . ….1 1 1 · · · 1 + a7