Linear Equation Là Gì – Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số

*

có dạng:

*

trong đó:

*

;

*

– hệ số (của ẩn) ;

*

– hệ số tự do.

Đang xem: Linear equation là gì

2. Nhận xét:

Ta đặt:

*

” class=”latex” /> ;

*

” class=”latex” /> ;

*

” class=”latex” />

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có:

*

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận:

*

(1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)

Ma trận

*

” class=”latex” /> được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung)

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) nếu

*

. Ta có:

*

Hay:

*

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solution

*

) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.

Xem thêm: neighbours from hell 2

Ví dụ: Hai hệ phương trình

*

*

là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là:

*

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.

( Cho

*

thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu

*

)

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có

*

nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo

*

. Khi đó: nhân hai vế của (1.2) cho

*

ta có:

*

(1.4)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

*

(1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do

*

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo:

*

(trong đó

*

là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

*

(*)

Bây giờ, ta xét:

*

. Ta có:

*

. \left<\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{array} \right> = \left<\begin{array}{c} b_1A_{11}+ b_2.A_{21}+ \ldots +b_n.A_{n1} \\ b_1A_{12}+b_{2}A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{n1}+b_2A_{n2}+ \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right> ” class=”latex” /> (**)

Từ (*) , (**) ta có:

*

= \dfrac{1}{D} \left<\begin{array}{c} b_1A_{11}+b_2A_{21}+ \ldots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{1n}+ b_2A_{2n} + \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right> ” class=”latex” />

Hay:

*

Ta đặt:

*

(***)

Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:

*

(****)

So sánh vế phải của (***) với (****) ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:

– Nếu

*

thì hệ có nghiệm duy nhất.

Xem thêm: Parity Là Gì – Định Nghĩa, Ví Dụ, Giải Thích

– Nếu

*

và tồn tại

*

thì hệ chắc chắn vô nghiệm.

– Nếu

*

thì

*

có dạng vô định nên không thể kết luận được. Với trường hợp này ta phải giải trực tiếp (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

Related Posts