Ở bài trước, ta đã tìm hiểu vềTứ giác nội tiếp đường tròn, điều kiện để một tứ giác có thể nội tiếp được đường tròn,… Còn ở bài này, ta đi đến khái niệm đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp đa giác.
Đang xem: đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
1.2. Định lí
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập cơ bản
2.2. Bài tập nâng cao
3. Luyện tập Bài 8 Chương 3 Hình học 9
3.1 Trắc nghiệmĐường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp
3.2 Bài tập SGKĐường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp
4. Hỏi đáp Bài 8 Chương 3 Hình học 9
a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn
Chẳng hạn:
-((O_1))là đường tròn ngoại tiếp tam giác(ABC), tam giác(ABC)nội tiếp đường tròn((O_1))
-((O_2))là đường tròn ngoại tiếp ngũ giác(MNOPQ), ngũ giác(MNOPQ)nội tiếp đường tròn((O_2))
b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn
.png)
Chẳng hạn, tứ giác (ABCD) là tứ giác ngoại tiếp đường tròn((O_1)),((O_1))là đường tròn nội tiếp tứ giác(ABCD)
1.2. Định lí
Đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp, một đường tròn nội tiếp. Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều
.png)
– Tam giác ABC đều có tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau
– Hình vuông XYZT có tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau
Bài tập minh họa
2.1. Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;10cm). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính r?
.png)
Hướng dẫn:
Tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp cũng đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Vẽ đường cao BE của tam giác. Khi đó, do tam giác ABC đều nên BE là đường trung tuyến.
Ngoài ra, O cũng là trọng tâm của tam giác đều ABC. Do đó(r=frac{R}{2}=frac{10}{2}=5cm)
Bài 2: Cho hình vuông XYZT có tâm I. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp của hình vuông biết chu vi đường tròn nội tiếp của hình vuông XYZT là(20pi)(cm)
.png)
Hướng dẫn:
Đặt(R,r (cm))lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của hình vuông XYZT.
Theo đề bài, chu vi đường tròn nội tiếp của hình vuông XYZT là(20pi)(cm) nên(2r.pi=20Rightarrow r=10 cm)
Vẽ(IDperp XY (Din XY))
Khi đó tam giác IXD vuông cân tại D, áp dụng định lí Pytago ta có(R^2=2r^2Rightarrow R=sqrt{2.10^2}=10sqrt{2} cm)
Chu vi đường tròn ngoại tiếp của hình vuông là:(2pi R=20sqrt{2} pi (cm))
Bài 3: Cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 4cm. Tính diện tích hình vuông, diện tích hình tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông MNPQ.
Xem thêm: ” Du Lịch Bụi Tiếng Anh Là Gì ? Ý Nghĩa Của Từ Phượt Trong Tiếng Anh
.png)
Hướng dẫn:
Diện tích hình vuông MNPQ là:(S_{MNPQ}=4^2=16(cm^2))
Kẻ(OSperp PQ (Sin PQ))thì(SQ=SP=2cm)
Dễ chứng minh tam giác OSQ vuông cân tại S
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông cân OSQ ta có(OQ=sqrt{2.OS^2}=2sqrt{2}(cm))
Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông là:(S_{1}=OS^2.pi=4pi (cm^2))
Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông là:(S_{2}=OQ^2.pi=(2sqrt{2})^2pi=8pi (cm^2))
Nhận xét: Ta có thể thấy các khái niệm đường tròn nội (ngoại) tiếp đa giác hay đa giác nội (ngoại) tiếp đường tròn rất dễ nhầm lẫn, việc hiểu rõ các khái niệm này thật sự rất quan trọng trong việc xác định yêu cầu bài toán để dẫn đến lời giải chính xác.
2.2. Bài tập nâng cao
Bài 1:Chứng minh rằng: Trong hình vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn lớn hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
.png)
Hướng dẫn:
Xét hình vuông ABCD có tâm O, kẻ(OMperp CD (Min CD))
Lúc đó OD là bán kính đường tròn ngoại tiếp, OM là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
(igtriangleup OMD)vuông tại M nên(ODgeq OM)(1)
Giả sử(OD= OM)khi đó đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp là hai đường tròn có chung tâm O và độ dài hai bán kính bằng nhau nên chúng trùng nhau.
Lúc đó không tồn tại hình vuông vừa có đỉnh trên đường tròn (O) vừa có cạnh tiếp xúc với đường tròn (O)
Do đó(OD
eq OM)kết hợp với (1) ta có(OD> OM)(đpcm)
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đặt R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác. Viết biểu thức liên hệ giữa R và r.
Xem thêm: Cách Xem Ảnh Của Bạn Bè Trên Facebook, Xem Toàn Bộ Ảnh Của Một Người Trên Facebook
.png)
Hướng dẫn:
Lục giác ABCDEF đều nên chia đường tròn ngoại tiếp (O) thành 6 cung bằng nhau, suy ra(widehat{AOF}=frac{360^0}{6}=60^0)
Tam giác AOF cân tại O có(widehat{AOF}=60^0)nên(igtriangleup AOF)đều.
Vẽ đường cao AH của(igtriangleup AOF)khi đó(OH=r)và(AH=frac{R}{2})
(igtriangleup AOH)vuông tại H nên(AO^2=OH^2+AH^2Rightarrow R^2=r^2+(frac{R}{2})^2Rightarrow r^2=frac{3R^2}{4}Rightarrow r=frac{Rsqrt{3}}{2})
