Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks
Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1ds
I. Đạo hàm (derivative)
1. Định nghĩa đạo hàm:
Cho hàm số
xác định trên D,
.
Đang xem: Derivative là gì toán học
Cho
số gia
(không phân biệt dương hay âm) sao cho:
. Ta gọi
là số gia của hàm số
.
Lập tỷ số:
Tìm giới hạn của tỉ số trên khi
. Khi đó, giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là đạo hàm của hàm số tại
và ký hiệu
Như vậy:
Nếu đặt
, ta có:
Tổng quát:
– Đạo hàm trái: nếu giới hạn
tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên trái của f(x) tại
. Ký hiệu
– Đạo hàm phải: nếu giới hạn
tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phải của f(x) tại
. Ký hiệu
– Từ tính chất của giới hạn ta có định lý sau:
Hàm số f(x) có đạo hàm tại
khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại
và các đạo hàm đó bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho hàm số:
} 1 \\ \end{array} \right. ” class=”latex” />
Tìm
Ta có:
Vậy
Do đó: f(x) không có đạo hàm tại x = 1.
Xem thêm: Cách Làm Khảo Sát Kiếm Tiền Với Ysense ) Từ Az, Cách Làm Khảo Sát Kiếm Tiền Với Ysense
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
3. Các định lý về đạo hàm:
3.1 Định lý 1: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại
thì f(x) liên tục tại điểm đó. (Chiều ngược lại chưa chắc đúng).
Chứng minh: do f(x) có đạo hàm tại
nên:
Theo định nghĩa giới hạn, ta có
(
Từ đó:
Do
Vì vậy:
Nghĩa là:
Hay:
Vậy: f(x) liên tục tại
– Chiều ngược lại không chắc đúng: ta xét lại ví dụ 1 ở trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
– Phản ví dụ 2: Xét hàm số
liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0.
Xem thêm: Nghĩa Của Từ Vertex Là Gì, Nghĩa Của Từ Vertex, Tình Yêu Và Duyên Phận
3.2 Định lý 2: (quy tắc tính đạo hàm)
Nếu u(x) và v(x) là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích thương cũng có đạo hàm tại x và ta có các công thức:
1.
2.
3.
3.3 Định lý 3: (đạo hảm hàm số hợp)
Nếu
có đạo hàm tại
và
xác định trong một khoảng chứa
và có đạo hàm tại
. Khi đó: hàm
có đạo hàm tại
và
Tổng quát:
Chứng minh:
Ta có:
Từ định nghĩa giới hạn, ta suy ra:
(1)
trong đó
khi
Viết lại đẳng thức (*) ta có:
(2)
Chia 2 vế của (3) cho
ta có:
Mặt khác, do :
nên
thì
Vậy:
(4)
Mà:
(5)
Do đó: từ (3), (4), (5) ta có:
.
3.4 Định lý 4: (đạo hàm hàm số ngược)
Cho hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng (a,b). Nếu f(x) có đạo hàm tại
và
thì hàm ngược
của f(x) cũng có đạo hàm tại
và:
Chứng minh:
Vì f(x) là hàm đồng biến (nghịch biến) trong khoảng (a,b) nên tồn tại duy nhất hàm ngược
